Metodo analitico per il calcolo dei deciBel

La definizione di deciBel - in qualsivoglia ambito - è legata al rapporto di potenze (o tensioni, ma anche correnti) ed è la seguente:

Consideriamo questi due rapporti notevoli:

1. Decade: quando il rapporto tra potenza d'uscita e potenza d'ingresso aumenta di 10 volte, ovvero P_u/P_i = 10;
2. Ottava: quando il rapporto tra Potenza d'uscita e potenza d'ingresso raddoppia, ovvero P_u/P_i = 2;

In questi casi - rispettivamente - si ottiene:

Partendo da questi due termini noti (10dB sono pari ad una decade, 3dB corrispondono ad un'ottava) è possibile ricavare i rapporti di potenza per tutti gli altri casi. Naturalmente è bene fare attenzione all'ottava, poiché il valore 3dB è figlio di un'approssimazione e - come tale - andrà usato con parsimonia.

È bene ricordare anche due regole fondamentali dei logaritmi:

Da queste premesse ricaviamo la tabella che segue, dove sono riportati i rapporti di potenza per i deciBel da 1 a 10. Da sottolineare che non occorre memorizzare la tabella: è sufficiente ricordare il concetto di decade ed ottava e - da questi - far discendere tutti gli altri termini.

In tabella sono evidenziati i termini relativi all'ottava ed alla decade (che non necessitano di alcun calcolo). Tutti gli altri si ricavano per somme e sottrazioni che - come evidenziato dalle proprietà dei logaritmi - per quanto riguarda gli argomenti si trasformano i prodotti e rapporti.

Ad esempio, per ottenere 8dB si è proceduto così:

Da notare, soprattutto, che i deciBel vengono utilizzati in quanto il rapporto tra uno ed il successivo è costante e pari a:

Infine, è bene ricordare ancora che il valore 3dB correlato all'ottava è leggermente approssimato. Infatti se ne ha la prova quando si tenta di ricavare il rapporto di potenze che genera 30dB partendo dalle decadi e dalle ottave. Rispettivamente si ottiene:

Dunque l'errore c'è (e si vede!), in questo caso è del 2,4%. Tutto sta nel decidere quale errore si è disposti a tollerare.

Questa proprietà è utilizzata anche nella vita di ogni giorno. Un esempio sono le banconote di qualsiasi valuta, vengono emesse in soli tre tagli: 1, 2 e 5 (con relativi multipli e sottomultipli).

Questo avviene per mantenere i rapporti tra i vari tagli di banconote pressoché identici senza introdurre calcoli complessi. Infatti, se si fosse optato per una progressione pari a 2, si sarebbero ottenuti tagli di 1, 2, 4, 8, 16 €... ovvero tutti discendenti da 2ⁿ con n intero (positivo o nullo), un po' complicato per chi possiede la sola licenza elementare.

Un buon risultato lo si ottiene sostituendo il 4 con il 5. Tra 1 e 2 vi è un raddoppio, tra 2 e cinque un fattore 2,5, mentre tra 5 e 10 di nuovo un raddoppio. A questo punto il ciclo continua con buona pace di venditori ed acquirenti che possono fare la spesa senza commercialista.

L'esempio è stato tratto dalla nostra valuta, ma chi ha girato il mondo vi potrà confermare che non esistono tragli di banconote e monete diverse da 1, 2 e 5 (moltiplicate per 10ⁿ, con n intero).

Un altro esempio è costituito dalla scala musicale. La musica occidentale è composta di sette note e cinque alterazioni, in tutto 12 semitoni. Il tutto viene suddiviso per ottave, ovvero: ad ogni ottava la frequenza raddoppia.

Per dare uniformità ai vari tipi d’intervallo ed eliminare le ambiguità tra tono maggiore e minore o semitono diatonico e cromatico si impone che la frequenza di una nota, rispetto alla successiva, debba variare di un fattore costante, tale che - la variazione complessiva in un'ottava - comporti un raddoppio della frequenza:

Da qui si ricavano tutte le frequenza dei diversi strumenti musicali, imponendo al La centrale la frequenza di 440Hz.