Test d'ingresso 2009

Queste erano le domande:

1. La mamma esercita una pressione maggiore sul pavimento quando ha le ciabatte o i tacchi a spillo?

2. H₂0 + NaCl → HCl + NaOH è corretta secondo la tua esperienza quotidiana?

3. Spiega con un disegno, ad un bambino di dieci anni, che la diagonale di un quadrato di lato 1 è pari a radice di 2

4. In una tavolata di dieci persone quanti brindisi vengono fatti se ognuno lo fa con ciascun altro?

5. Supponiamo la terra perfettamente sferica di circonferenza 40.000km, e un filo della stessa lunghezza che le giri tutto attorno all'equatore. Tagliamo il filo, aggiungiamogliene un metro, riannodiamo il tutto e lasciamo il nuovo anello a distanza costante dalla superficie. Può un gatto passare tra il filo e la terra?

6. Hai 5 caramelle e ne mangi una ogni mezz'ora. Quante ore ti durano le caramelle?

7. Utilizzando tre 5 e uno o più segni delle operazioni aritmetiche ottenere come risultato 60.

8. Qual è il più piccolo numero primo che divide la somma 7⁹ + 13¹⁷?

9. Due sorelle stanno cenando assieme ai loro fidanzati, a casa. Il loro fratellino è sotto il tavolo. È occupato a tagliare una gamba del tavolo con il suo silenziosissimo seghetto da traforo. L'instancabile ragazzo lavora alla velocità di 1,5cm al minuto. Quanto durerà la cenetta se la gamba del tavolo ha uno spessore di 9cm?

10. Nel prossimo bicchiere d'acqua che berrai, probabilmente, sono contenute 1.500 molecole della cicuta bevuta da Socrate. Sai dire se questa affermazione è vera o falsa e perché?

Risposte e riflessioni

1. La mamma esercita una pressione maggiore sul pavimento quando ha lei tacchi a spillo.
Infatti la formula della pressione è P = F/S (Forza diviso Superficie). La forza è F =m·g (la massa della mamma per l'accelerazione di gravità)

2. H₂0 + NaCl — se lo scriviamo in italiano — altro non è che acqua e sale da cucina (Cloruro di Sodio, appunto). Invece HCl è acido cloridrico, mentre NaOH è idrossido di sodio, entrambi leggermente tossici. Visto che siamo tutti vivi e vegeti e di pasta asciutta ne mangiamo a volontà è evidente che H₂0 + NaCl a temperatura e pressione ambiente, ovvero secondo la nostra esperienza quotidiana, non reagiascono.
Diversamente non saremmo qui a leggere queste righe.

3. Una possibile — ma non unica — spiegazione è la seguente:

È evidente che il quadrato costruito sulla diagonale (rosso) ha area doppia del quadrato di partenza (blù). Quindi se il primo ha area 1 il secondo ha area 2. Ne consegue, anche per un bambino di dieci anni, che il suo lato è radice di 2.

4. 45 brindisi (se ognuno lo fa con ciascun altro una volta sola).
La soluzione è semplice se si ragiona per passi:

1 persona = 0 brindisi (chi non beve in compagnia...);
2 persone = 1 brindisi;
3 persone = 2 + 1 brindisi (chi ha brindato con gli altri, non brinderà la seconda volta);
4 persone = 3 + 2 + 1 brindisi;
...
10 persone = 9 + 8 + ... + 1 brindisi = 45 brindisi.

La cosa, vista sotto questo profilo è un po' noiosa, lo riconosco. Ma se qualcuno ricorda i numeri triangolari li può sfruttare per ricavare agevolmente la soluzione con la formula di Gauss T_n = n·(n +1) / 2 impostando n = 9.

5. Sì.
Il raggio della prima circonferenza è: C/2π (espresso in metri).
Il raggio della seconda circonferenza sarà quindi: (C+1)/2π = C/(2π) + 1/(2π) (espresso in metri)

Dove π = 3,14159... ed altre infinite cifre fino alla nausea.

Come si vede, il secondo raggio è (1/2)π più lungo del primo, dove 1/(2π) = 1/6,283 = 0,159m = 15,9cm circa.

Perciò la distanza fra la terra ed il filo — nel secondo caso — è circa 15,9 cm e un gatto ci può passare.
In generale, se le lunghezze di due circonferenze qualsiasi differiscono di 1 m, allora i raggi delle circonferenze differiscono di circa 15,9 cm. Tale differenza fra i raggi è costante, indipendentemente dalle dimensioni delle due circonferenze (fermo restando la loro differenza, che deve essere di 1m).

6. 2 ore. Una adesso, una dopo mezz'ora, la terza dopo un'ora, la quarta dopo un'ora e mezza, la quinta dopo due ore e... le caramelle son finite.

7. 55 + 5 = 60.

8. Dispari + Dispari = Pari. Il divisore primo più piccolo è 2.

9. La cena dura 6 minuti. Durata = Sezione / Velocita = 9cm / 1,5cm/min = 6min.

10. L'affermazione è vera. Possiamo ipotizzare che, in tutti questi anni, la cicuta di Socrate si sia dispersa nei mari e oceani. La superficie della Terra misura 509.950.000km², mentre la superficie delle terre emerse misura 148.822.000km², la restante parte è occupata dagli oceani e dai mari, ovvero il 70,8% e la loro profondità media è di 3.729m.
Essendo il raggio equatoriale approssimativamente pari a 6.378,388km si ha che la quantità tolate d'acqua del pianeta è pari a 4/3·π·(R_T³ - R_F³)·70,8% = 4/3·3.14159·(6.378.388m³ - 6.374.659m³)·70,8% = 1.348.972.448.677.316.344m³ (dove R_T è il raggio terrestre, mentre R_F il raggio medio dei fondali marini).
Supponiamo che Socrate abbia bevuto 25cl di Cicuta — ormai dispersi nel pianeta — ne consegue che ha bevuto N_m·N_a·q = 55,5mol·6,022·10²³l/mol·0,25 = 83,5646·10²³ molecole di cicuta.
Negli oceani sono presenti 1.348.972.448.677.316.344m³·1000·4 = 5.395.889.794.709.265.376.000 bicchieri d'acqua da 25cl, come quello che si è ipotizzato abbia bevuto Socrate.
Per concludere, probabilmente, nel prossimo bicchiere d'acqua che berrai, sono contenute 1.549 molecole della cicuta bevuta da Socrate.